【摘 要】
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在本论文里我们主要研究对角型Nichols代数的一些根的根重数问题.首先我们关注秩（rank）为2的对角型Nichols代数.运用V.Kharchenko的PBW基（Poincaré-Birkhoff-Witt basis）理论,我们给出了任意域上的形如阶8)1+22的根重数的具体的表达式（形式是8）1+6)2,6)∈{0,1}的根重数公式可参考[44]),其中1,2是Z~2的标准基,8)是任意的
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在本论文里我们主要研究对角型Nichols代数的一些根的根重数问题.首先我们关注秩（rank）为2的对角型Nichols代数.运用V.Kharchenko的PBW基（Poincaré-Birkhoff-Witt basis）理论,我们给出了任意域上的形如阶8)1+22的根重数的具体的表达式（形式是8）1+6)2,6)∈{0,1}的根重数公式可参考[44]),其中1,2是Z~2的标准基,8)是任意的非负整数.其次,我们推广并完善了Flores de Chela和Green的一个定理[12],利用关于Lyndon词个数的一个不等式和关于Shuffle映射的一个等式,我们给出并证明了对角型Nichols代数是张量代数的充分必要条件,并且在Shuffle映射的行列式等于零的时候,在特定的条件下,我们给出了Shuffle映射核的维数,其中我们把Shuffle映射看成Nichols代数的自同态.在1999年,K.V.Kharchenko证明了对角型Nichols代数存在一组PBW基[32],并且PBW基中的生成元是由某些Lyndon词给出的,这一结果使对角型Nichols代数的研究得到了突破性的进展.基于PBW基,在2006年,I.Heckenberger给出了对角型Nichols代数的广义根系（generalized root system）和Weyl群胚（Weyl groupoid）的概念.广义根系（generalized root system）和Weyl群胚（Weyl groupoid）是复半单李代数（Lie algebra）的根系（root system）和Weyl群的推广.广义根系（generalized root system）和Weyl群胚（Weyl groupoid）在对角型Nichols代数的分类里与根系（root system）和Weyl群在复半单李代数分类里起到的作用类似.利用此工具,在Weyl等价的意义下,I.Heckenberger给出了所有有限维对角型Nichols代数的广义Dynkin图（generalized Dynkin diagram）的分类[18,20,19,22].对角型Nichols代数的根系进行深入的研究是一个比较困难的问题,但是也是很有必要的.我们知道,有限维对角型Nichols代数的根都是实根,并且每个根的根重数都是一[13][20].但是关于虚根和虚根的根重数以及仿射型Nichols代数这方面的知识却很少.我们的结果使得人们在这方面有了更好的认识.本论文包含四个章节.在第一章中,我们介绍背景知识及回顾一些基础的概念和记号,例如:Yetter-Drinfel’d模、辫子向量空间、Nichols代数、Lyndon词,广义根系,根重数等等,及关于Nichols代数Lyndon词等的一些已有的结果.为了更好地表达,我们还介绍了候选根向量（root vector candidate）和根向量（root vector）的概念.在第二章中,我们主要解决秩（rank）为2的对角型Nichols代数的一类根的根重数问题.我们给出了任意域上的型如8)1+22的根的根重数的公式,其中8)是任意的非负整数.并且我们给出了候选根向量是根向量的充分必要条件.在第三章中,我们给出了对角型Nichols代数是张量代数的具体的条件,这一结果的证明是基于一个关于Lyndon词的个数的不等式.作为应用我们把一类对角型Nichols代数的自由性与丢番图方程（diophantine equation）联系在一起.进一步,在特定的条件下,我们还给出了量子对称子作为Nichols代数的自同态的核的维数.在第四章中,我们主要研究一类三角型的辫子向量空间.我们给出了辫子群中的某些元素作为张量代数的自同态的一些特征多项式.为以后研究三角型Nichols代数做铺垫.
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