【摘 要】
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边值问题是微分方程的重要分支,是抽象模型与自然现象的结合,有着非常深刻的物理背景。近些年来,产生了很多解决常微分方程的方法,例如有限差分法、Adomian分解法、变分迭代
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边值问题是微分方程的重要分支,是抽象模型与自然现象的结合,有着非常深刻的物理背景。近些年来,产生了很多解决常微分方程的方法,例如有限差分法、Adomian分解法、变分迭代法以及同伦摄动法。 同伦摄动法结合了同伦理论以及摄动方法,是何吉欢教授在1998年提出的,为非线性问题的求解提供了非常有效的方法。将非线性问题变成若干个简单的线性问题就是同伦摄动法的思想实质。得到快速收敛的级数解,一般少数几项的级数解就可以很好的逼近真解,简单快速是传统的同伦摄动法的优点。但是也有不足存在,首先,其收敛性未能得到严格的证明。其次,同伦摄动法对于一些强非线性问题可能不收敛。 本论文的研究目的就在于改进传统的同伦摄动方法,使其在保持传统同伦摄动法优点的同时,对于强非线性问题仍能收敛,并给出严格的收敛性证明。 本论文的研究内容如下: 首先,提出了分片同伦摄动法。在传统的同伦摄动法基础上提出改进,对其进行分片处理,即进行区间划分,利用M判别方法对分片同伦摄动法进行严格的收敛性证明,并且给出近似解的误差估计。 其次,运用分片同伦摄动法求解非线性二阶常微分方程(组)边值问题。 最后,基于Mathematica进行数值算例的运算,验证了分片同伦摄动法的优越性。 总之,本论文基于传统的同伦摄动法,进行了改进。分片同伦摄动法能够有效的解决传统同伦摄动法所不能解决的强非线性问题,拓展了同伦摄动法的应用领域。同时,传统的同伦摄动法未能严格证明收敛性,本论文给出了严格的证明,深化了同伦摄动法的理论研究。数值模拟结果也表明分片同伦摄动法精确度高,收敛性快。
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