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本文主要研究非线性椭圆型方程组。全文的内容可以分为三部分。
第一部分、非线性椭圆型方程组已有研究结果综述。在这一部分分别对Dirichlet问题和Neumann问题概述已有的结果及其证明思路和关键点。对于Dirich-let问题，首先综述了当方程所对应的变分泛函非线性项F(x，u，v)满足次临界增长条件时已有的结果。这方面的主要结果集中在对一般形式非线性项F(x，u，v)的条件设定上。对临界情形，针对一类经常研究的非线性项，介绍了解的存在性和非存在性结果，并结合单个方程的结果提出这类椭圆型方程组值得研究的问题。对Neumann问题不再赘述次临界情形的结果，直接介绍了临界情形研究的结果、证明的关键点和有用的结论。
第二部分、介绍本人所取得的新的研究结果。研究了一类带临界指标的非线性椭圆型方程组的Neumann问题。给出了其低能量解的性态及最小能量解的渐近性态。得到主要结论是当参变量足够大时，低能量解的最大值点是唯一的并且在区域的边界上。进一步证明，当参数λ，μ趋于无穷时，最小能量解的最大值点的极限位于区域边界取到极大平均曲率的点集中。在证明过程中主要使用了。Blow-up方法，椭圆型方程的Holder理论，LP理论。本文证明低能量解可以写成最佳Sobolev常数的达到函数的拉伸变换和平移的近似。文章证明的关键是要得到能量的渐近展开表达式。为了得到所需能量的渐近展开表达式，本文还要得到低能量解通过最佳Sobolev常数的达到函数的拉伸变换和平移来近似的精确误差，这需要进行很精致的估计。
第三部分、介绍所取得进一步进展并提出后续工作的思路。在这一部分介绍了在上述已有结论的基础上，进一步构造多解的方面所取得的进展。在一个假设的基础上，本文证明了多解的存在性。最后，列举了这个椭圆型方程组低能量解可以得到的一些渐近估计，给了低能量解极大值点渐近性态分析的一个思路，希望能对这个问题的解决有所帮助。