【摘 要】
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Catalan数、Delannoy数和Schr（?）der数在数论、组合学中既有许多重要的应用,又是当代研究的热点问题之一.到目前为止,许多数学家对它们的各种性质进行了广泛而深入的研究,并发现Catalan数、Delannoy数和Schr（?）der数的一些算术等式在研究格路的计数问题和一些同余话题中扮有重要的作用.鉴于此,本文运用了一些分析的方法和组合的技巧,建立了与这三个数相关的几个恒等式.文
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Catalan数、Delannoy数和Schr（?）der数在数论、组合学中既有许多重要的应用,又是当代研究的热点问题之一.到目前为止,许多数学家对它们的各种性质进行了广泛而深入的研究,并发现Catalan数、Delannoy数和Schr（?）der数的一些算术等式在研究格路的计数问题和一些同余话题中扮有重要的作用.鉴于此,本文运用了一些分析的方法和组合的技巧,建立了与这三个数相关的几个恒等式.文中采用的方法使得目前一些学者在这方面得到的部分结果被作为容易的方式得到.文章主要工作如下:（1）利用生成函数的方法、Bell多项式的一些性质、Leibniz公式、Faa di Bruno公式及组合式的求和转换等方法,对Catalan数进行了进一步地研究,建立了任意多个Catalan数乘积的两个新的和式公式.这些等式不仅可视为Catalan数递归公式的一种推广,而且有助于简化计算中遇到的一些计数问题以及对计数问题的上下界估计方面的研究.（2）通过应用以上建立两个Catalan数恒等式的方法与技巧,我们研究了Delannoy数,建立了任意多个Delannoy数乘积和的两个恒等式,并对Schr（?）der数进行了类似的研究,从而使得一些学者关于Delannoy数和Schr（?）der数的部分结果将被作为特殊情况得到.
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