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数值流形法往往是以规则的三角形有限元网格来建立覆盖系统，其在继承了有限元一些优点的同时，也带来了一些问题，如精度低、加密不方便等。本文将无网格法和多边形有限元的插值引入数值流形法，形成基于移动最小二乘的数值流形法(MLS-NMM)和多边形数值流形法(PNMM)，并将MLS-NMM应用于渗流分析、广义应力强度因子求解和多裂纹扩展分析等问题中。具体研究工作如下: 1.从覆盖系统、单位分解、数值流形空间的角度重新阐述了数值流形法，并以MLS节点的影响域作为数学片，将MLS引入数值流形法中，重新建立基于移动最小二乘的数值流形法(MLS-NMM)。对于裂纹问题，将物理片分为普通物理片和奇异物理片，对于奇异物理片，将裂尖渐近解作为基进行自由度扩充，形成了扩展的MLS-NMM。这部分内容是后续应用的基础; 2.将自由面当作水头条件和流量条件分别建立了两套变分原理。针对这两套原理，建立了基于MLS-NMM的两种离散模式，其中前者用于调整自由面，后者用于结果验证，同时提出了一个新的自由面调整策略。该方法精度很高、数值稳定且不需要重新划分网格，能够处理复杂的坝体和强非均质问题; 3.为了更好地模拟裂纹问题，将裂纹体分为裂尖部分和非裂尖部分，其中裂尖部分用截断的Williams级数描述，其余部分用MLS-NMM描述，这两部分独立变分，并通过界面连续条件将这两部分粘结起来。该方法能够直接、有效地求解裂纹的广义应力强度因子; 4.将扩展的MLS-NMM应用于裂纹分析，建立了更新构型和不更新构型的裂纹扩展计算格式，并能保证在裂纹扩展中断裂韧度条件能够得到满足。另外通过对曲折裂纹和背景积分的处理，在网格不变的情况下实现了任意小步长的裂纹扩展。数值算例显示更新构型得到的裂纹扩展路径与不更新构型得到的结果有很大的不同; 5.含多裂纹的脆性材料在伺服加载下的全过程响应对结构进行性能评估时极其重要。在多裂纹扩展中，除了平衡方程以外所有裂尖均还要满足断裂韧度条件，这可归结为一个非线性互补问题。由于离散方程的自由度的大小甚至数目都与裂纹扩展长度息息相关，这会导致非线性互补问题的雅可比矩阵很难求得，因而无法使用需要计算雅可比矩阵的非光滑牛顿法等方法求解。为此在MLS-NMM的基础上，设计了一个进行了规则化的投影收缩算法，该方法能够很自然地模拟多裂纹扩展。通过一些数值算例，发现了一些有趣且重要的现象; 6.建立了基于多边形有限元的数值流形法，包括其前处理的实现和新的多边形插值方法。前处理方面，数学网格可以是与不连续线吻合的多边形网格，也可以是与不连续线不吻合的正六边形网格、voronoi网格、分层加密的四边形网格或正三角形网格等。新的多边形插值技术则是通过奇异权函数将MLS的定义限制在多边形上得到的，该插值具有单位分解性、Kronecker-delta属性、线性完备性以及在边上是线性的等性质。讨论了四种权函数，包括Dis Line型、Area型、Dis_Seg型和Tri_Inequ型权函数，并探讨了其在凸多边形、凹多边形、含边节点的多边形、含内点的多边形上的表现。数值算例验证了基于多边形有限元的数值流形法的有效性。