【摘 要】
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在众多理论与工程力学问题中,随机性和奇性是普遍存在的两类性质。随机性与奇性的出现在理论上与数值上都给力学问题的研究带来挑战。传统的数值方法在该类问题上的直接应用会面临求解开销大、数值解收敛速度慢等问题。因此,根据问题的特性设计出具有良好理论性质的高效数值方法显得十分重要。我们首先研究了带随机外势的薛定谔方程,探究随机配置法在该方程求解上的应用。由于随机配置法的理论基础为多项式插值原理,因此随机配置
【基金项目】
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国家重点研发计划项目2017YFC0601801； 国家自然科学基金11871298、11322113；
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在众多理论与工程力学问题中,随机性和奇性是普遍存在的两类性质。随机性与奇性的出现在理论上与数值上都给力学问题的研究带来挑战。传统的数值方法在该类问题上的直接应用会面临求解开销大、数值解收敛速度慢等问题。因此,根据问题的特性设计出具有良好理论性质的高效数值方法显得十分重要。我们首先研究了带随机外势的薛定谔方程,探究随机配置法在该方程求解上的应用。由于随机配置法的理论基础为多项式插值原理,因此随机配置法关于配置点个数的收敛速度与解的随机正则性相关。依据确定性情形下薛定谔方程的适定性结果,我们给出了全空间中带随机势能的薛定谔方程的随机正则性分析。结合时间分裂谱方法以及随机配置法,我们给出了基于时间分裂的随机配置法,用于求解有界区间上带随机输入的薛定谔方程,并给出了该算法的误差估计。理论分析以及数值实验表明,当势能和初值关于随机变量越光滑,基于时间分裂的随机配置法的收敛速度越快。我们随后研究了带周期势能与随机外势的薛定谔方程,结合基于Bloch分解的时间分裂拟谱方法以及随机Galerkin方法,给出了求解该方程的基于Bloch分解的随机Galerkin方法。我们从理论上分析了基于Bloch分解的时间分裂拟谱方法的稳定性与局部时间误差,同时证明了基于Bloch分解的随机Galerkin方法在期望意义下保持离散的质量守恒。数值结果表明,基于Bloch分解的随机Galerkin方法保持了基于Bloch分解的时间分裂拟谱方法的优势,可以在较大的时间步长下得到高分辨率的近似解,而且空间方向上呈现谱收敛。另外,当随机外势光滑地依赖于随机变量时,方法关于正交多项式阶数呈现谱收敛。进一步,除了在期望意义下保持离散质量守恒外,该算法在期望意义下还近似保持离散能量守恒。我们最后针对带奇性的椭圆问题,推广了求解该类问题的直接线法。我们首先推导了各向异性情形下的拉普拉斯方程在曲线坐标系中所满足的变分微分形式,从而得出求解各向异性情形下拉普拉斯方程的直接线法;然后讨论了一般星形区域问题中直接线法处理外边界条件为Neuamnn边界条件情形的具体做法;随后推导了直接线法在泊松方程上的应用;最后,结合区域分解的思想,给出了求解多奇点椭圆问题的直接线法。数值结果表明,推广后的直接线法能高效地求解这几类带奇性的椭圆问题,并保持了直接线法原有的优势。
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