论文部分内容阅读
本论文研究金融市场中的随即过程模型。我们的研究涉及到三个方面的内容：期权定价，市场动力学和随机波动率。
首先介绍了随机过程在期权定价中的应用，出发点是Black和Sholes提出的建立在布朗运动的基础上的期权定价公式。这个模型在金融市场上得到了广泛的应用。但是不能解释市场一些的特性，像胖尾效应，适度关联，标度律等。这里我们考虑将Black-Sholes的常数波动率修改为可以变化的波动率，介绍了两种特殊波动率：与时间和价格相关的波动率模型和随机波动模型下的期权定价公式。
然后研究了股价波动动力学。期权定价公式是建立在股票价格的波动满足几何布朗运动的基础上。从市场上的数据得到了股价波动的Langevin方程，因此可以确定股票价格波动满足一种特殊的扩散方程，扩散系数(波动率)为时间和价格的函数。波动率的变化除了受市场价格影响之外，也受到投机行为影响，可以用一种特殊的噪声，加性-乘性噪声来描述波动率的性质，我们计算了这个模型之下的股价涨落的概率分布函数，得到了概率分布函数与不同的噪声强度的关系，研究了价格涨落与市场上投机行为对价格涨落分布的影响。
在金融市场的模型中，最重要的量是波动率。对波动率的研究发现，它具有随机性和均值回归性。我们首先介绍了对两个最主要的波动率模型：Hull-White模型和Heston模型的研究，在这个基础上提出了双噪声模型，考虑了关联和无关联的情况，得到了价格波动的概率分布函数以及它的渐近行为。这些工作可以解释金融市场中重要的现象：肥尾效应。在金融市场模型中，我们是首先用双关联噪声来描述波动率的变化的，得到了可以描述市场性质的数学模型。
最后一章总结了我们的工作。