含Delta势薛定谔方程的数值方法研究

• 作 者: 白洁静
• 出 处: 南京师范大学
• 发表日期: 2020年01期

薛定谔方程是量子物理中的基本方程,它不仅在物理领域有很多应用,而且在数学领域也备受关注。带分布势如δ（x）、δ’（x）及其线性组合的薛定谔方程,是描述玻色或费米气体的一类重要模型,也可以用来模拟半导体异质结构或奇异外势作用下超冷稀薄原子气体的凝聚问题,等等。本文主要研究含这类分布势的定态和动力学薛定谔方程的数值方法,主要成果如下：第一部分集中在含分布势定态薛定谔方程束缚态问题的界面方法研究。首先,我们考虑含单δ（x）或对称双δ（x）势阱的薛定谔方程,利用显式跳跃浸入界面方法和Peskin浸入边界方法对方程进行离散,得到了相应的广义和标准代数特征值问题,并证明了前者可以转化为标准代数特征值问题。进而,利用带位移的反幂法和QR方法,对原方程束缚态问题进行了多方面的数值研究。其次,对于含-αδ（x）+bδ’（x）势且在原点带质量跳跃的薛定谔方程,我们分别考察了其浸入界面方法和显式跳跃浸入界面方法离散,得到了相应的广义和标准代数特征值问题,并针对这些离散问题的适定性与求解等方面给出了相关的理论分析。由显式跳跃浸入界面方法离散得到的标准特征值问题,可以用标准方法进行求解。然而,由浸入界面方法得到的是一个“隐式”代数特征值问题,我们设计了相容的不动点迭代与带位移的反幂法相结合的算法,实现了相关束缚态能级与波函数的数值计算。理论和数值研究表明,对于这两类薛定谔方程束缚态特征值问题,Peskin的浸入边界方法、显式跳跃浸入界面方法和浸入界面方法都是有效的、稳定的以及收敛的,且对于能级的计算精度可以达到方法的精度。第二部分针对凝聚态物理中一个重要模型即含δ（x）势场的动力学非线性薛定谔方程,研究其多辛几何结构以及相关的多辛几何算法。由于Delta外势的出现,此方程不能像无外势那样写成多辛哈密尔顿系统。通过一些泛函设定,我们提出了此模型的“弱”多辛哈密尔顿形式描述,并从理论上研究了相关“弱”意义下的一些局部和整体守恒律。我们指出,由于空间平移不变性被打破,此系统的动量不再守恒。进而,我们构造了新的Runge-Kutta和Runge-Kutta-Nystrom方法,讨论了它们的离散多辛性,并证明了这些多辛几何算法严格保持原系统的归一化守恒律。为了数值比较,我们还利用界面方法构造了非多辛离散格式的数值算例。这些数值研究表明,多辛几何算法的优势在于对归一化守恒律的精确保持,并且界面点是否落在等分节点上对计算结果影响不大。对于能量守恒律,多辛Runge-Kutta-Nystrom算法的保持精度远高于非多辛算法。不管是多辛算法还是非多辛算法,可以将能量、宇称等诸多守恒性质在一定精度下长时间稳定保持。