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作为信号处理的一个分支,数字图像处理在天文学、医学、遥感、纳米技术、安全检查以及视觉心理学等应用科学领域中有重要应用。一般的来说,图像处理的主要内容包括图像降噪、图像去模糊、图像修复和图像分割。传统的图像复原方法多建立在线性系统的方法之上,如Wiener去卷积滤波方法、小波分析、带约束的最小二乘法等等,这些方法的核心都是构造某种恰当的线性滤波器。从上世纪90年代开始,偏微分方程方法开始应用于图像处理,并迅速发展成为一个新兴的交叉学科分支。本文考虑一类基于退化扩散下的图像处理反问题,主要研究利用模糊的观测图像重构原始的清晰图像。与通常的基于各向同性的热传导扩散不同,这里的扩散系数是变化的,且允许在区域边界处退化为零。这使我们可以同时兼顾各向异性扩散和缓慢扩散两种情形,但同时也为理论分析和数值模拟带来了本质性困难。本文可分为以下五个章节：第一章是文章的绪论,主要简述了偏微分方程反问题的一些研究背景和有价值的国内外研究动态,尤其对近年来反问题在图像处理中的应用做了详细介绍。第二章,首先,文章给出了图像去模糊的模型方程：f=u+η,其次,用正则化的方法推导出一个非线性的椭圆方程；最后,为了便于分析,将其转化为一个与时间有关的抛物型方程。第三章给出了一个退化的抛物型方程并用最优控制方法进行了讨论。§3.1提出了要解决的问题P。§3.2经过对问题的分析,将问题P转化成了一个最优控制问题。§3.3证明了控制泛函极小元的存在性。§3.4得到了最优解所要满足的必要条件。§3.5根据解满足的必要条件证明了最优解的两个重要性质。§3.6本章小结。第四章主要是在理论分析的基础上对所提出的问题做了数值模拟。§4.1建立了抛物型方程的有限差分格式。§4.2提出了Landweber迭代法并写出了相应的迭代步骤。§4.3运用MATLAB实现了从原始图像到模糊图像再到重构图像的数值计算,并分析了不同参数下的不同重构效果。§4.4对本章做了小结。第五章是总结与展望部分。对问题P来说,理论分析已经完成,寻找最好的迭代法使所要去模糊的图像达到最好的重构效果便是我们今后努力的方向。当然本文所研究的都是灰度图像,对复杂图像的研究将是后续的主要工作,这样对反问题理论分析的难度就加大了。