【摘 要】
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非线性薛定谔方程源于应用数学、物理学等各种应用学科,它可以用来描述物理中的各种非线性波,如激光束在折射率与波幅有关的介质中的传播、理想流体在自由上的水波、等离子波
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非线性薛定谔方程源于应用数学、物理学等各种应用学科,它可以用来描述物理中的各种非线性波,如激光束在折射率与波幅有关的介质中的传播、理想流体在自由上的水波、等离子波等.基于非线性薛定谔方程的实际意义,本篇文章主要研究了三类具有不同物理现象的非线性薛定谔方程解的存在性问题,本文研究的具体内容如下:在第一章中,我们首先介绍一些研究背景和研究现状,接着又概述了本文主要工作.在第二章中,我们主要给出了本文将用到的记号、定义和公式.在第三章中,我们研究此类非线性薛定谔方程其中Ω是RN(N≥ 2)中的有界区域,△N是N-Laplace算子,f(x,u)是具有临界增长的实函数.运用一种变量代换将非线性薛定谔方程转变为半线性椭圆型方程,再利用方程满足的条件以及Trudinger-Moser不等式,Holder不等式,Sobolev嵌入不等式等证明了山路引理的几何条件,最后通过山路引理方程证明解非平凡解的存在性.在第四章中,我们研究了下面的非线性薛定谔方程-△u+V(x)u-△(u2)u=f(x,u),u∈H1(RN),N≥3.利用山路引理,Lions集中紧引理和Sobolev嵌入不等式证明此类薛定谔方程在无界区域上孤子解的存在性.在第五章中,我们研究了下面的非线性薛定谔方程-△u+V(x)u+γ/2[△(u2)]u=f(x,u),x ∈ RN,其中V(x)x:→ R是给定的位势,f(x,u)是实函数,γ是一个常数,N≥ 3.利用变量代换、喷泉定理、Sobolev嵌入不等式等方法证明方程存在多解.由于变量变换函数是一个分段函数形式,所以我们在最后还要证明解的L∞范数有界.
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