【摘 要】
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鞍点问题在计算流体动力学、优化、最优控制以及约束和加权最小二乘估计等问题中具有广泛应用.作为一类特殊的分块线性系统,它具有大型稀疏的结构特点.由于直接法需要较长的运算时间和较高的内存,因此常常利用迭代法来求解鞍点问题.然而,迭代法往往缺乏稳定性且对一些实际问题有时收敛很慢甚至不收敛.通常,迭代法收敛的快慢取决于所求线性系统系数矩阵的谱性质.因此,为了有效地求解鞍点问题,有必要借助适当的预处理子来改
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鞍点问题在计算流体动力学、优化、最优控制以及约束和加权最小二乘估计等问题中具有广泛应用.作为一类特殊的分块线性系统,它具有大型稀疏的结构特点.由于直接法需要较长的运算时间和较高的内存,因此常常利用迭代法来求解鞍点问题.然而,迭代法往往缺乏稳定性且对一些实际问题有时收敛很慢甚至不收敛.通常,迭代法收敛的快慢取决于所求线性系统系数矩阵的谱性质.因此,为了有效地求解鞍点问题,有必要借助适当的预处理子来改善系数矩阵的谱性质.从而改善迭代法的收敛性和提高其计算效率.通过充分利用鞍点问题系数矩阵的代数性质和稀疏结构,已经提出了许多有效的迭代算法和预处理技术.但由于鞍点问题的系数矩阵对角元不占优、谱性质不是很好且往往又是不定的,使得目前还没有任何一种方法可以解决所有类型的鞍点问题.因此如何根据鞍点问题的特点并结合实际问题的性质.构造稳定且有效的数值解法具有非常重要的理论和实际意义.本论文主要研究了三类鞍点问题的求解算法.在借鉴已有经典方法构造思路的基础上,综合考虑算法实现、收敛速率和谱性质等因素.有针对性的构造了五种适用于标准鞍点问题、广义非对称鞍点问题和一般的2 × 2块线性系统的高效算法.主要工作和创新如下:1.对标准鞍点问题,首先利用块对角预处理技术进一步推广了 Uzawa分裂（US）方法,得到了求解它的块对角预处理Uzawa分裂（BDP-US）迭代法,并且给出了保证该方法收敛的一个充分条件.基于BDP-US方法,提出了一个矩阵分裂预处理子并分析了预处理矩阵的谱性质.同时,讨论了迭代参数的选择策略.数值实验验证了理论结果的正确性.并说明了 BDP-US迭代法和相应预处理子的有效性.其次,基于改进的预处理加速Hermitain和反Hermitian分裂（MPAHSS）方法和三角分裂迭代法,提出了求解标准鞍点问题的MPAHSS-参数化的Uzawa（MPAHSS-PU）方法一个新的参数设置.给出了保证新参数设置的MPAHSS-PU方法收敛的充分条件,并讨论了其参数选择.新的参数设置不仅减少了对参数的限制,而且克服了 MPAHSS-PU方法的缺点.数值算例验证了理论结果的正确性和MPAHSS-PU方法在新参数设置下的数值性能.2.对广义非对称鞍点问题,受参数化位移分裂（PSS）思想的启发.提出了一个改进的PSS（MPSS）预处理子.证明了相应预处理矩阵的所有特征值都聚集在1附近,且在一定的条件下,MPSS迭代法是无条件收敛的.该方法克服了 PSS迭代法的缺点.数值实验验证了理论结果的正确性,并说明了所提MPSS预处理子的有效性.3.对一般的2 × 2块线性系统.首先基于广义的参数化非精确Uzawa迭代法2和参数化的预处理技术.构造了一个双参数三角分裂预处理子;其次,通过推广求解广义鞍点问题的矩阵分裂预处理子,得到了一个矩阵分裂预处理子.通过详细的分析预处理矩阵的谱性质,证明了这两个预处理子对应的预处理矩阵的所有特征值都聚集在0或1附近.数值实验验证了理论结果的正确性,并且通过将这两个预处理子与应用于广义极小残量（GMRES）方法的经典块对角和块三角预处理子进行比较,说明了双参数三角分裂和矩阵分裂预处理子的有效性.
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