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椭圆型变分不等式问题在非线性问题中扮演着重要的角色，同时也是研究力学，物理与工程中许多自由边界问题的重要方法之一。随着数值方法的深入发展和计算机进行数值计算时运行速度的快速提高，变分不等式的数值求解不仅成为可能，而且可以模拟解决很多实际的问题。 在广大学者研究成果的基础上，论文首先采用对偶方法和罚方法求解一类变分不等式问题(P)，并对两种算法的优劣性进行了比较。其次，将对偶理论应用到典型实例圆柱管道中的Bingham流体问题中，为数值求解带来了方便。最后，对于近年来学者广泛关注的圆柱体棒弹塑性挠度问题进行了研究。 全文共分为五章。第一章主要概述了椭圆型变分不等式及其研究现状，并说明了课题的来源和意义。第二章介绍了论文所涉及的一些重要的基本概念和结论，为论文要研究的内容奠定了理论上的基础。 第三章首先针对一类变分不等式问题(P)分别采用对偶方法和罚方法进行分析，给出求解的公式，并证明算法的收敛性。其次根据数值算例，分析方法中各参数对数值结果的影响，并比较了对偶方法和罚方法数值求解变分不等式问题(P)的优劣性。 第四章将对偶理论应用到Bingham流体问题中，首先将由该问题导出的变分不等式通过对偶理论进行了转化。其次对于转化后的对偶问题直接采用松弛法进行求解。最后给出了数值算例，并对数值结果与相对误差进行了分析，验证了方法的可行性。 第五章研究近年来学者广泛关注的圆柱体棒弹塑性挠度问题，由该问题所导出的变分不等式问题实际上是问题(P)的一个特例，采用带投影的松弛法这一重要工具进行数值求解，给出了数值算例，体现了方法的灵活性。