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动力系统分为可积系统和不可积系统两类。可积系统存在全局分析解，不可积系统最有效的求解方式是数值积分。传统的高阶Runge-Kutta-Fehlberg单步法和Adams-Cowell多步法在短时间积分内具有较高的精度，成为天文历表编制和人造卫星精密定轨等的常用定量积分器。可是它们在长时间积分中，会引入人工耗散因素，导致数值解失真。辛算法弥补了经典算法的不足，具有保持辛结构、维持保守系统能量，是研究哈密顿系统长期定性演化的最佳积分工具。Wisdom-Holman辛算法及其辛校正兼顾精度、效率和稳定，在当前太阳系天体的动力学定性演化研究中得到广泛应用。
考虑到哈密顿函数分解为多于2个的可积部分的辛算法已有实际算例(例如见1998年Duncan等哈密顿分法)，本文将对具有可积分解的一般形式H=H0+∑Ni=1Hi(其中H0是主要项)的哈密顿系统各构造4个一、二阶辛积分器详细进行理论分析和数值比较，结论是就同阶辛算法而言，它们的哈密顿函数局部截断误差差别不大。然而采用Duncan-Levison-Lee哈密顿分解方案并选取太阳-木星-土星三体系统作为物理模型，数值结果明显表明它们具不同的数值稳定性。如果哈密顿函数的主要部分H0计算耗费不大，建议使用S*型算法(即H0被分成若干个子步插入到其它哈密顿部分之间组成的算法)。还发现哈密顿各部分之间按从大到小的积分顺序可以获得较好的数值稳定性。此外，本文把1996年Wisdom等提出的辛校正推广到这些算法中，用Lie级数方法可以简便地导出任意辛算法的校正公式。结果表明一次辛校正能提高精度，改善数值稳定性，计算效率也比较高，因而值得推荐使用。辛方法通常用大步长数值积分，这时二次辛校正并没有显著提高结果的精度，却大大增加了计算时间，不应予以推荐。这种拓广的辛算法希望运用于Duncan等提出的不同天体采用不同步长的辛算法实算之中，将使计算精度进一步改善。
数值工具的应用，给混沌动力学的发展提供良好机遇。牛顿力学不可积系统普遍表现一种混沌方式，其重要特征就是对初始条件具有指数敏感依赖性。此特征可以利用Lya-punov指数来检测，它揭示相空间内两邻近轨道随时间的分离程度。对于紧致动力系统，若Lyapunov指数是正值，则系统混沌；如Lyapunov指数等于零，就表明系统有序。故Lyapunov指数被认为是检测混沌的重要指标。Lyapunov指数的计算有变分法和两粒子法两种，后者因应用上的方便，受到广泛使用。一个2n维哈密顿系统具有2n个Lyapunov指数，并且符号相反的两个Lyapunov指数成对出现。因为每个运动积分对应两个零Lyapunov指数，可积的2n维哈密顿系统存在n个独立的运动积分，所有的Lyapunov指数全为零。这是可积系统没有混沌的根源。
毫无疑问，相对论不可积系统也会展现混沌行为。然而，直至目前在相对论框架下研究混沌的工作还不多见。考虑广义相对论效应的明显性，相对论框架下研究混沌主要在黑洞和宇宙学两方面。Lyapunov指数在相对论中仍然是探测混沌的重要手段，可以采用牛顿框架内的两粒子法计算。然而这可能存在严重问题，因为经典Lyapunov指数定义使用欧氏距离和坐标时间，而4维弯曲时空里欧氏距离不再具有不变性，又坐标时间一般是非物理的，也就是说，经典Lyapunov指数严重依赖于坐标系的选择，在坐标变换下可能发生根本性质的改变。这一问题在Mixmaster宇宙模型里变得相当尖锐。物理量应当以固有量而非坐标量来定义，作为混沌指标一Lyapunov指数也应当以不变形式定义。我们首先把经典Lyapunov指数由相空间更改在构形空间内定义，容易发现相空间与构形空间内定义的经典Lyapunov指数数值相等。然后让观测者和它附近的粒子都在引力场中运动，把粒子偏离观测者的位移矢量映射到垂直于观测者所在的时间轴方向的局部三维子空间里得投影向量，其长度就是观测者测量到他附近的粒子的固有距离，而对于观测者的原时，由他自己所携带的标准钟来测量。也就是说，观测者能够观测附近的粒子与他之间的固有距离是否随他的原时指数增长，从而确定他的运动是否混沌。这种根据观测量理论确立的Lyapunov指数是一个标量，与坐标系无关。我们还提供了计算相对论下的Lyapunov指数具体实现方法。于是，Lyapunov指数便由一个数学量定义为一个物理量。
Poincaré截面也是用来描述混沌的重要工具，能直观地描述混沌系统的另两个重要特征即拓扑传递性和稠密的周期轨道，但一般适宜于两自由度的保守系统。已有文献用该方法刻划黑洞及其附加摄动系统的混沌性，例如，1997年Vieira和Letelier讨论了黑洞与内偶极晕迭加时空中的粒子动力学行为。我们采用Lemos与Letelier于1994年关于轴对称时空的两个不同Weyl解的迭加方法，给出黑洞与外偶极盘复合时空解。发现黑洞与外偶极盘叠置时空的牛顿近似模型是可积的。对于相对论模型，我们找到一些混沌参数。随着偶极矩增大，KAM环被破坏，系统由有序走向混沌。在相对论模型里，若略去复合解中黑洞与盘的相互作用耦合项，我们没有发现混沌行为。这也说明爱因斯坦真空场方程的非线性项是导致系统混沌的根本因素。随着角动量L的增大，混沌轨道的计算要求采用隐辛算法才能保持数值稳定性。
广义相对论研究混沌的另一个热点是均匀各向异性Mixmaster宇宙的早期演化行为。引起人们极大兴趣在于Lyapunov指数的争议：坐标规范影响Lyapunov指数，尤其是对数时间隐藏混沌。从Jacobi度规方法出发，可用协变方式理解Mixmaster宇宙混沌行为。2001年Imponente和Montani采用新类Misner-Chitré变量得到两维Jacobi度规，并用一个常量近似表示Ricci曲率标量，得到不变的Lyapunov指数，揭示Mixmaster宇宙早期混沌的本质。然而直至目前还没有人用数值方法取得真实的Lyapunov指数，是因为已有的在坐标变换下为协变的方法都做了大量近似且是限于特定变换的分析方法。我们澄清了一些模糊认识，指出坐标时x与宇宙时t不是对数关系。理论分析和数值模拟表明当x可在(-∞，+∞)内取值时，t仅限于有界区域(0，T)。由于采用无穷大时间x计算Lyapunov指数，必然有Lyapunov指数等于零的结果。同时说明Mixmaster宇宙模型具有周期振动性，T就是周期。因此，如果要在x时间变量里，取得正确的Lyapunov指数，就要剔除大量对混沌无贡献的时间，即采用实际宇宙演化一个周期内的时间T。关于反映场方程演化的不变Lyapunov指数普适定义有待进一步探究。