具有时滞的van der Pol-Duffing系统的双Hopf分岔

• 作 者: 张研研
• 机 构: 同济大学
• 出 处: 同济大学航空航天与力学学院 同济大学
• 发表日期: 2005年期

本文主要研究了在具有时滞反馈的van der Pol-Duffing系统中，时滞引起的非
共振的双Hopf分岔、混沌及分岔解的定量计算。首先，根据对原系统的线性分
析，及Hopf分岔定理，得到1：√2非共振时系统发生双Hopf分岔的充要条件，其
中，时滞及反馈增益为分岔参数。然后，用中心流形定理及规范型方法将原时滞
系统约化到4维中心流形上，即，将原无限维问题转化为4维问题。并定性地画出
双Hopf分岔点附近的分岔图，对双Hopf分岔点附近的动力学行为进行分类。
容易验证，当参数在分岔点附近取值时，中心流形理论(CMT)等方法解得的谐
波解，不仅在定性上且在定量上，能够与数值模拟吻合得很好。但是，当参数逐
渐远离分岔点时，用CMT等得到的解与数值模拟的结果偏差越来越大，直到完全
无效。为克服CMT的这一缺点，我们提出用改进的摄动增量法(PIS)来求解时滞
系统的周期解，甚至概周期解。数值模拟表明，改进的PIS能有效地解决这一问
题，且得到的解可得到任意高精度。总之，本论文所提出的用CMT及PIS方法，
不仅可以定性地而且定量地分析讨论时滞系统。其中，得到高精度的概周期解是
本论文的一个重要结果。据我所知，至今为止，这方面的研究成果不多。
除了上述内容外，作者还发现，所研究的系统的动力学行为极其丰富：在分岔
点附近的很小的领域内，不仅存在着死岛(振幅为零的区域)、稳定的周期解，还
有概周期解、混沌等等复杂现象。这一结果表明，系统对时滞的变化非常敏感：
即使对时滞作很小的扰动，系统的动力学行为都有可能会发生巨大的变化。值得
注意的是，本文中的考虑时滞的系统的参数平面中存在着稳定区域，而这在对应
的无时滞的系统却是没有的。我们可以利用该点性质，实现对实际中的动力学系
统的结构的稳定性控制。另一方面，在通信领域的同步传送方面，却是要产生混
沌的。所以，死岛和混沌这两种现象都有重要的实用价值。总之，利用这些结
果，我们可以通过调整时滞等参数来控制系统的动力学行为。这种参数控制方法
不但有效，而且在操作上很容易实现，因此具有很好的应用前景。