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数学物理反问题往往是不适定的，或者说是不稳定的．此时，若直接求解反问题，则测量数据的微小误差将引起解的急剧变化，而导致所求得的解毫无实际应用价值。为获得反问题稳定而有效的解，则需要利用正则化方法来求解反问题，例如著名的Tikhonov正则化方法．对不适定问题的正则化方法的研究一直是应用数学和计算数学研究领域中的一个重要研究方向，它强大的生命力源于科学与工程领域中的广泛应用．实际上，不适定问题的正则化方法是否有效和成功，直接依赖于正则化参数的有效选取．在实际计算中，若仅仅靠经验和先验信息选取正则化参数，这无论从计算代价还是理论研究角度来说都是不能令人满意的．本文围绕不适定问题的正则化参数的选取方法及其应用展开研究，由以下六个部分组成：
第一章，介绍了线性不适定问题和正则化方法的基本概念，概述了正则化参数选取及其应用领域的研究动态和国内外研究进展，并在此基础上阐明了本文的研究目的、主要研究内容和主要创新点．
第二章，基于吸收的Morozov偏差原理，研究了Tikhonov正则化下的单个正则化参数选取的模型函数方法．当利用吸收Morozov偏差原理确定正则化参数时，主要困难之一就是如何有效地求解非线性的Morozov偏差方程。在这一章中，我们提出了三种新的模型函数，它们分别是线性模型函数、指数型模型函数、对数型模型函数；在此基础上，建立了确定正则化参数的模型函数基本算法及其改进算法，这些算法都是求解一个具有显式表达式的近似Morozov偏差方程，并证明了算法的全局收敛性；最后，数值例子的计算结果表明所提出的模型函数算法是有效的．
第三章，进一步研究了多正则化参数的Tikhonov正则化中正则化参数选取的模型函数方法，获得了多正则化参数的Tikhonov正则化解的收敛性结论，基于吸收的Morozov偏差原理提出了多变量双曲型、线性、指数型与对数型模型函数，给出了选取多正则化参数的模型函数算法及其改进的和实用型的模型函数算法．数值算例表明基于线性模型函数和指数型模型函数的多正则化参数选取算法是值得采用的．
第四章，基于正则化参数选取的模型函数方法，研究了由单个入射声波或电磁波及其远场数据反演多个柔性散射体边界的逆散射问题．通过建立边界到边界总场的非线性算子及其Fréchet导数，给出了基于单层位势的组合Newton法，进一步将组合Newton法转化为泛函优化问题，从而获得了该方法重建单个散射体的收敛性分析．然后，基于正则化参数选取的模型函数方法和遗传算法，给出了组合Newton法重建多个散射体的数值实现方法．最后，给出了三个数值例子，它们分别是重建单个、两个和三个声柔散射体．
第五章，考虑了三类抛物型方程(组)的源项反演问题，分别是单个方程的有限流域模型、单个方程的无限流域模型和方程组的有限流域模型，它们都与流域点污染源的探测直接相关，这里点污染源的数学表示为λ(t)δ(x-s)，其中δ(x-s)是广义函数函数中的狄拉克函数，δ表示点源位置，λ(t)表示点污染源的强度．本章通过解析函数延拓的惟一性和Titchmarsh卷积定理等方法，获得了源项反演的惟一性和局部Lipschitz稳定性，给出了源项反演的算法并进行了数值模拟．
第六章，对全文进行了总结，并对未来研究工作进行了展望。