【摘 要】
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随着科学技术的迅速发展,在物理学、工程、经济等领域出现了大量的数学物理方程,并且很多自然现象、物理现象、力学问题等都可通过这些数学物理方程来描述,这给我们对数学物理方程的研究提供了可靠的物理背景和实际意义.对称、守恒律和解在数学物理方程的研究中发挥着重要的作用,对称反应数学物理方程结构的规律,守恒律反映数学物理方程运动变化的特征,解将揭示方程物理性质的变迁.在过去的几十年里,诸多数学物理爱好者积极
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（NO.11661034）； 内蒙古自治区高等学校青年科技英才支持计划（No. NJYT-17-A23）；
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随着科学技术的迅速发展,在物理学、工程、经济等领域出现了大量的数学物理方程,并且很多自然现象、物理现象、力学问题等都可通过这些数学物理方程来描述,这给我们对数学物理方程的研究提供了可靠的物理背景和实际意义.对称、守恒律和解在数学物理方程的研究中发挥着重要的作用,对称反应数学物理方程结构的规律,守恒律反映数学物理方程运动变化的特征,解将揭示方程物理性质的变迁.在过去的几十年里,诸多数学物理爱好者积极投身于钻研数学物理方程的相关属性中,并且推导出很多构造各种对称、守恒律和精确解的多种有效方法,也得到了一些强有效的结论,但对于数学物理方程方程对称、守恒律和解等属性之间关系的研究还是比较欠缺.因此,基于前人的工作,挖掘数学物理方程对称、守恒律和精确解等的新兴算法和应用是可期待的.本文的主要内容如下:第一章,简述数学物理方程的对称、守恒律、精确解和数学机械化的研究背景及发展状况.第二章,简要介绍了对称―共轭对称‘对’方法与Ibragimov新守恒定理的理论知识,然后借助Maple和Mathematica符号计算技巧成功构造了两种浅水波方程的守恒律,并通过所得的结果对这两种方法进行比较.第三章,介绍了运用幂级数形式方法求解数学物理方程对称的基本思想,并运用该方法成功求解出一维Green-Naghdi水波方程组的幂级数形式对称;接着,计算出该方程组的子代数及其优化系统,并通过相似约化求得相似解.第四章,介绍通过引进特殊变换,把单域孤子方程转换为n耦合数学物理方程孤子系统的基本思想,并利用直接方法成功推出两种n耦合系统的守恒律;最后,利用Hirota双线性方法推出2-耦合Gardner方程的孤子解.第五章,基于守恒律及其微分约束条件和黎曼不变量构造了几类方程组的精确解和黎曼不变解.第六章,总结本文的主要研究工作,并展望未来的发展方向.
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