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时滞微分方程的分支理论研究是泛函微分方程研究领域中的一个非常重要的课题。所谓分支是指当参数变化时流的拓扑结构产生质的改变。时滞微分方程分支问题的研究既要用到经典的动力系统理论,又涉及拓扑,代数,泛函等相关知识,具有重大的理论意义。分支主要分为局部分支,半局部分支和全局分支。Hopf分支是一种常见而重要的局部分支,主要研究当参数变化时,系统平衡点的稳定性发生变化,从而在平衡点附近产生小振幅周期解的现象。本文主要研究几类具有强烈实际背景的时滞微分方程的Hopf分支问题,主要工作如下:(一).研究了具时滞的Mayer模型的动力学性质。首先,分别研究了一个时滞和两个时滞情形下的系统不动点稳定性,并得到当以时滞为参数时系统出现稳定性开关和产生Hopf分支的条件。其次,当系统存在两个时滞时,利用中心流形理论和规范型方法,给出了确定Hopf分支方向及分支周期解稳定性的计算公式。(二).研究了具时滞的基因表达模型的Hopf分支问题。通过分析系统在平衡点附近线性部分的特征方程根的分布情况,得到了系统的零平衡点稳定性以及产生Hopf分支的条件;其次,利用中心流形理论和规范型方法推导出了判断Hopf分支方向和分支周期解的稳定性的公式。应用Li和Muldowney的高维Bendixson准则,在解决一个8维常微分方程不存在周期解的基础上,运用Wu的全局Hopf分支定理得到了周期解的全局存在性。(三).研究了生活在两个相同区域上的带有年龄结构的单种群增长模型。运用Beretta和Kuang的关于系数依赖于滞量的特征方程的根的分布分析方法,研究了系统在正齐性不动点附近线性部分的特征方程,从而得到不动点的稳定性和Hopf分支存在性。利用Hassard和Kazarinoff等人所创立的理论及方法,获得了关于分支方向,分支周期解的稳定性、振幅及周期等的计算公式。(四).从分支的角度研究具时滞的激光交叉耦合模型。研究表明当耦合强度的乘积变化时,系统产生Hopf分支。进而,可知调节耦合强度是一种控制系统产生不良振动现象的非常有效且容易实施的方法。另外,我们在每个模型的理论分析后都给出一些数值模拟结果来支撑所得到的理论结果。