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奇异摄动问题有着广泛的物理背景，其数值解法具有重要的理论和实际意义，一直受到计算数学界的关注.由于解的边界层效应，很难得到最佳阶的一致收敛的计算格式.本文针对这一问题开展研究.
文章的主要结果有以下几个方面：（一）建立了二阶和四阶奇异摄动问题数值求解的高阶Hermite型有限体积法，借助最优的网格剖分，在相当弱的条件下得到最佳阶的一致收敛性估计，数值实验验证了理论的结果和方法的有效性.（二）给出了求解奇异摄动问题的另一种非标准方法：混合有限元方法.给出了奇异摄动问题的混合有限元法的一个抽象框架，导出了真解和中间变量与数值解之间误差的抽象估计.（三）将本文给出的抽象框架应用于一类四阶奇异摄动两点边值问题上.理论和数值实验都表明：在最优网格剖分下，混合有限元法得到的数值解也具有最优的一致收敛性.
文章的结构如下：
第一章简要介绍奇异摄动问题的背景、研究方法以及奇异摄动问题的各种数值解法.介绍贯穿本文最重要的一个概念：最优网格.最后总结了本论文所做的主要工作.
第二章考虑一类反应扩散类型二阶奇异摄动两点边值问题的有限体积法.建立了三次元的有限体积法的计算格式.分析了解的收敛性和误差估计，并进行了数值实验.理论和数值实验都表明：在最优网格剖分下，有限体积法具有最优的一致收敛性.
第三章研究了一类四阶奇异摄动两点边值问题的高阶有限体积法.我们采用最优网格剖分，构造了三次元Hermite型的有限体积法的计算格式.对解的收敛性和误差估计进行了讨论，并进行了数值实验.理论和数值实验都表明：对于四阶奇异摄动，借助于最优网格剖分，有限体积法具有和有限元法同样的最优一致收敛性.
第四章给出了奇异摄动问题的混合有限元法的一个抽象框架，导出了真解和中间变量与数值解之间误差的抽象估计.将本文给出的抽象框架应用于一类四阶奇异摄动两点边值问题上.理论和数值实验都表明：在最优网格剖分下，混合有限元法得到的数值解也具有最优的一致收敛性.