【摘 要】
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求解Hamilton方程的经典Hamilton-Jacobi方法把一个常微分方程组(Hamilton方程)的求解问题化为了一个求一阶偏微分方程(Hamilton-Jacobi方程)完全解的问题,这种看似"化简为繁
【基金项目】
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广东省自然科学基金(2015A030310127)
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求解Hamilton方程的经典Hamilton-Jacobi方法把一个常微分方程组(Hamilton方程)的求解问题化为了一个求一阶偏微分方程(Hamilton-Jacobi方程)完全解的问题,这种看似"化简为繁"的方法却是求解Hamilton方程精确解的最有力的方法。从偏微分方程理论的角度看,这种方法的关键是指出了Hamilton方程和形如αs/αt+(t,q~i,αs/αq~i)(i=1,2,…,n)的一阶偏微分方程特征线之间的关系,因此只要找到上述偏微分方程的一个完全解,就可以用代数的方法求出Hamilton方程的解。本文将指出,从几何的角度看,如果把一个一阶偏微分方程F(q~i,αu/αq~i,u)看作是以i标的空间中的约束方程,那么一阶偏微分为坐方程的解实际上就是该空间中的一个与该约束方程对应的超曲面,因此根据其几何意义,利用Frobenius定理就可以直接写出与该偏微分方程对应的特征线方程。显然,只要能够找到一个系统的实际运动方程和一阶偏微分方程特征线之间的关系,我们就有可能用该偏微分方程的一个完全解求出与之对应的运动方程的解,而经典的Hamilton-Jacobi方法则是一个典型的例子。
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