多体结构连接部件的有限单元模型.pdf

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文 章 编 号 : l?0?0?l?-?2?4?8?6?( 2?0?0?0?) 0?6?-?0?0?0?5?-?0?4? 多 体 结 构 连 接 部 件 的 有 限 单 元 模 型 !? 李 东 旭 , 孙 丕 忠 , 唐 乾 刚 ( 国 防 科 技 大 学 航 天 与 材 料 工 程 学 院 , 湖 南 长 沙 4?l?0?0?7?3?) 摘 要 : 针 对 多 体 结 构 中 连 接 部 位 带 来 的 运 动 不 连 续 问 题 , 提 出 了 将 连 接 部 件 不 作 节 点 处 理 而 作 单 元 看 待 的 设 想 。 从 力 学 基 本 原 理 出 发 推 导 了 单 元 的 刚 度 矩 阵 与 阻 尼 矩 阵 , 并 由 拉 格 朗 日 方 程 推 导 了 这 种 单 元 的 平 衡 方 程 。 关 键 词 : 多 体 结 构 ; 连 接 部 件 ; 连 接 单 元 中 图 分 类 号 : V?2?l?4?.?l?文 献 标 识 码 : A? F?i?n?i?t?e? E?l?e?m?e?n?t? M?O?d?e?l? f?O?r? t?h?e? J?O?i?n?t?S? i?n? M?l?l?t?i?-?b?O?d?y? S?t?r?l?c?t?l?r?e?S? L?I? D?O?D?g?-?X?u?, S?U?N? P?e?i?-?Z?1?O?D?g?, T?A?N?G? O?i?a?D?-?g?a?D?g? ( C?O?1?1?e?g?e? O?f? A?e?r?O?S?p?a?c?e? a?D?c? M?a?t?e?r?i?a?1? E?D?g?i?D?e?e?r?i?D?g?, N?a?t?i?O?D?a?1? U?D?i?V?.? O?f? D?e?f?e?D?S?e? T?e?c?1?D?O?1?O?g?y?, C?1?a?D?g?S?1?a? 4?l?0?0?7?3?, C?1?i?D?a?) A?b?S?t?r?a?c?t?: A? f?i?D?i?t?e? e?1?e?m?e?D?t? m?O?c?e?1? f?O?r? t?1?e? ?O?i?D?t?S? i?D? m?u?1?t?i?-?b?O?c?y? S?t?r?u?c?t?u?r?e?S? 1?a?S? b?e?e?D? p?r?e?S?e?D?t?e?c?.? B?a?S?e?c? O?D? t?1?e? m?e?c?1?a?D?i?c?a?1? p?r?i?D?c?i?p?1?e?S?, t?1?e? S?t?i?f?f?D?e?S?S? m?a?t?r?i?X? a?D?c? c?a?m?p?i?D?g? m?a?t?r?i?X? O?f? t?1?e? f?i?D?i?t?e? e?1?e?m?e?D?t? O?f? t?1?e? ?O?i?D?t? 1?a?V?e? b?e?e?D? c?e?c?u?c?e?c?.? B?y? t?1?i?S? w?a?y?, t?1?e? D?O?D?-?c?O?D?t?i?D?u?O?u?S? p?1?y?S?i?c?a?1? S?y?S?t?e?m? b?e?c?O?m?e?S? c?O?D?t?i?D?u?O?u?S? m?a?t?1?e?m?a?t?i?c?a?1?1?y?.? S?O?, t?1?e? i?c?e?a? p?r?e?S?e?D?t?e?c? i?D? t?1?i?S? p?a?p?e?r? g?i?V?e?S? u?S? a?D?O?t?1?e?r? w?a?y? t?O? a?D?a?1?y?Z?e? t?1?e? c?y?D?a?m?i?c?a?1? p?r?O?b?1?e?m? i?D? a? m?u?1?t?i?-?b?O?c?y? S?t?r?u?c?t?u?r?e?S?.? K?e?y? w?O?r?d?S?: m?u?1?t?i?-?b?O?c?y? S?t?r?u?c?t?u?r?e?; ?O?i?D?t?; ?O?i?D?t? e?1?e?m?e?D?t? 随 着 国 家 建 设 和 航 天 事 业 的 发 展 , 越 来 越 多 的 多 体 结 构 被 采 用 。 图 l? 是 卫 星 芯 体 “?帆 板 多 体 结 构 的 简 单 示 意 。 A?、 B? 表 示 部 件 之 间 的 连 接 件 。 对 各 子 结 构 都 可 以 分 别 独 立 地 建 立 有 限 元 模 型 , 但 由 于 位 移 在 连 接 处 间 断 , 使 连 接 件 不 能 简 单 地 作 为 一 个 有 限 单 元 的 节 点 来 连 接 两 边 的 结 构 。 因 此 , 在 理 论 和 方 法 上 就 有 一 些 模 型 和 假 设 应 运 而 生 。 在 本 文 中 提 出 的 是 将 结 构 之 间 的 连 接 件 按 一 个 独 立 的 有 限 单 元 来 处 理 的 方 法 , 为 解 决 结 构 连 接 处 位 移 不 连 续 给 求 解 带 来 的 问 题 提 供 了 又 一 个 较 为 满 意 的 途 径 。 1?连 接 单 元 的 建 模 与 分 析 1?.?1?单 元 模 型 因 为 连 接 件 的 主 要 功 能 相 当 于 弹 簧 和 阻 尼 的 作 用 , 因 此 可 将 连 接 件 简 化 为 如 图 2? 所 示 的 单 元 模 型 。 该 单 元 无 质 量 。 1?.?2?单 元 分 析 设 每 个 节 点 具 有 5? 个 自 由 度 , 即 : U?、 1?、 w?、 !?x?、 !?y?, 则 单 元 的 节 点 位 移 向 量 为 : { g?e?} =?[ U?l?1?l?w?l?!?x?l?!?y?l?U?2?1?2?w?2?!?x?2?!?y?2? U?3?1?3?w?3?!?x?3?!?y?3?U?4?1?4?w?4?!?x?4?!?y?4?] ( l?) 单 元 的 动 能 为 : T?e?=? 0?( 2?) 单 元 的 势 能 为 : V?e?=? l? 2? K?U?( U?2?-? U?l?) 2? +? l? 2? K?1?( 1?2? -? 1? l?) 2? +? l? 2? K?w?( w?2?-? w?l?) 2? +? l? 2? K? !?x? ( !?x?2?-?!?x?l?) 2? +? l? 2? K? !?y? ( !?y?2?-?!?y?l?) 2? +? l? 2? K?U?( U?3?-? U?4?) 2? 国 防 科 技 大 学 学 报 第 2?2? 卷 第 6? 期 J?0?U?R?N?A?L? 0?F? N?A?T?I?0?N?A?L? U?N?I?V?E?R?S?I?T?Y? 0?F? D?E?F?E?N?S?E? T?E?C?H?N?0?L?0?G?Y?V?O?1?.?2?2? N?O?.?6? 2?0?0?0? !?收 稿 日 期 : 2?0?0?0?-?0?5?-?2?3? 基 金 项 目 : 国 家 “ 8?6?3?” 应 用 基 础 研 究 项 目 基 金 资 助 ( 8?6?3?-?2?) 作 者 简 介 : 李 东 旭 , ( l?9?5?6? -? ) , 博 士 , 副 教 授 。 图 l? 多 体 结 构 与 连 接 件 示 意 图 F?i?g?.?l?A?H? i?1?1?u?S?t?r?a?t?i?O?H? O?f? m?u?1?t?i?-?b?O?c?y? a?H?c? t?1?e?i?r? ?O?i?H?t?S? 图 2? 连 接 单 元 模 型 F?i?g?.?2?T?1?e? m?O?c?e?1? O?f? a? ?O?i?H?t? e?1?e?m?e?H?t? +? l? 2? K?1?( 1?3? -? 1? 4?) 2? +? l? 2? K?w?( w?3?-? w?4?) 2? +? l? 2? K? !?x? ( !?x?3?-?!?x?4?) 2? +? l? 2? K? !?y? ( !?y?3?-?!?y?4?) 2? ( 3?) 其 中 K?U?、 K?1?、 K?w?、 K? !?x?、 K? !?y? 分 别 为 与 位 移 U?、 1?、 w?、 !?x?、 !?y?相 对 应 的 弹 性 刚 度 。 单 元 的 阻 尼 力 所 做 的 虚 功 为 “?W?e?=? -?[ C?U?( '? U?2?-? '? U?l?) “? ( U?2?-? U?l?) +? C?1?( '?1?2? -? '?1?l?) “? ( 1?2? -? 1? l?) +? C?w?( '? w?2?-? '? w?l?) “? ( w?2?-? w?l?) +? C? !?x? ( '? !?x?2?-? '? !?x?l?) “? ( !?x?2?-?!?x?l?) +? C? !?y? ( '? !?y?2?-? '? !?y?l?) “? ( !?y?2?-?!?y?l?) +? C?U?( '? U?3?-? '? U?4?) “? ( U?3?-? U?4?) +? C?1?( '?1?3? -? '?1?4?) “? ( 1?3? -? 1? 4?) +? C?w?( '? w?3?-? '? w?4?) “? ( w?3?-? w?4?) +? C? !?x? ( '? !?x?3?-? '? !?x?4?) “? ( !?x?3?-?!?x?4?) +? C?!?y?( '? !?y?3?-? '? !?y?4?) “? ( !?y?3?-?!?y?4?) ] ( 4?) 其 中 , C?U?、 C?1?、 C?w?、 C? !?x?、 C? !?y? 是 对 应 自 由 度 上 的 阻 尼 系 数 。 阻 尼 力 的 大 小 与 速 度 成 正 比 , 方 向 与 速 度 相 反 。 “? ( U?2?-? U?l?) , ⋯ ⋯ , “? ( !?y?3?-?!?y?4?) 表 示 虚 位 移 。 记 阻 尼 力 向 量 为 0?, 则 : { 0?} =? -?[ C?U?( '? U?2?-? '? U?l?) C?1?( '?1?2? -? '?1?l?) ⋯ ⋯ C? !?x? ( '? !?x?3?-? '? !?x?4?) C?!?y?( '? !?y?3?-? '? !?y?4?) ] T? ( 5?) !?运 动 方 程 !?“?#?拉 格 朗 日 方 程 c? c?t? !?T?e? !?'?g? () i? -? !?T?e? !?g?i? +? !?V?e? !?g?i? =? 0?i?( i? =? l?, ⋯ , 2?0?) ( 6?) 因 为 T?e?=? 0?, 所 以 连 接 单 元 的 拉 格 朗 日 方 程 为 : !?V?e? !?g?i? =? 0?i?( i? =? l?, ⋯ , 2?0?) ( 7?) 7? 李 东 旭 等 : 多 体 结 构 连 接 部 件 的 有 限 单 元 模 型 !?“?!?单 元 刚 度 矩 阵 与 单 元 阻 尼 矩 阵 如 果 记 : [ K?e?] =? K?U?O?O?O?O? -? K?U?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?K?1?O?O?O?O? -? K?1?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?K?w?O?O?O?O? -? K?w?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?K?!?x?O?O?O?O? -? K?!?x?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?O?K?!?y?O?O?O?O? -? K?!?y?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? K?U?O? O?O?O?K?U?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O? -? K?1?O?O?O?O?K?1?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O? -? K?w?O?O?O?O?K?w?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O? -? K?!?x?O?O?O?O?K?!?x?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?O? -? K?!?y?O?O?O?O?K?!?y?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?K?U?O?O?O?O? -? K?U?O?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?K?1?O?O?O?O? -? K?1?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?K?w?O?O?O?O? -? K?w?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?K?!?x?O?O?O?O? -? K?!?x?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?K?!?y?O?O?O?O? -? K?!?y? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? K?U?O?O?O?O?K?U?O?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? K?1?O?O?O?O?K?1?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? K?w?O?O?O?O?K?w?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? K?!?x?O?O?O?O?K?!?x?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? K?!?y?O?O?O?O?K?!?                                                   y? ( 8?) 则 : !?V?e? !? { g?e?} =?[ K?e?] { g?e?} ( 9?) 即 [ K?e?] 为 该 单 元 的 刚 度 矩 阵 。 如 果 记 : [ C?e?] =? C?U?O?O?O?O? -? C?U?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?C?1?O?O?O?O? -? C?1?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?C?w?O?O?O?O? -? C?w?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?C?!?x?O?O?O?O? -? C?!?x?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?O?C?!?y?O?O?O?O? -? C?!?y?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? C?U?O? O?O?O?C?U?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O? -? C?1?O?O?O?O?C?1?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O? -? C?w?O?O?O?O?C?w?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O? -? C?!?x?O?O?O?O?C?!?x?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?O? -? C?!?y?O?O?O?O?C?!?y?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?C?U?O?O?O?O? -? C?U?O?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?C?1?O?O?O?O? -? C?1?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?C?w?O?O?O?O? -? C?w?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?C?!?x?O?O?O?O? -? C?!?x?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?C?!?y?O?O?O?O? -? C?!?y? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? C?U?O?O?O?O?C?U?O?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? C?1?O?O?O?O?C?1?O?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? C?w?O?O?O?O?C?w?O?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? C?!?x?O?O?O?O?C?!?x?O? O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O?O? -? C?!?y?O?O?O?O?C?!?                                                   y? ( l?O?) 则 : { 0?} =? -?[ C?e?] { '? g?e?} ( l?l?) 即 [ C?e?] 为 该 单 元 的 阻 尼 矩 阵 。 8? 国 防 科 技 大 学 学 报 2?O?O?O? 年 第 6? 期 !?“?#?运 动 方 程 将 ( 9?) 式 及 ( l?l?) 式 代 入 ( 7?) 式 得 [ K?e?] { g?e?} =? -?[ C?e?] { '? g?e?} ( l?2?) 或 [ K?e?] { g?e?} +?[ C?e?] { '? g?e?} =? 0?( l?3?) ( l?3?) 式 即 连 接 单 元 的 运 动 微 分 方 程 。 实 际 上 可 看 作 是 弹 性 力 与 阻 尼 力 的 静 力 平 衡 方 程 。 因 为 连 接 件 的 质 量 被 忽 略 不 计 , 因 此 , 单 元 的 质 量 矩 阵 为 零 。 如 果 记 [ M?e?] =?[ 0?] ( l?4?) 则 该 连 接 单 元 的 运 动 方 程 有 与 一 般 单 元 的 运 动 方 程 一 致 的 形 式 。 即 [ M?e?] { ? g?e?} +?[ C?e?] { '? g?e?} +?[ K?e?] { g?e?} =? 0?( l?5?) #?结 束 语 当 得 到 连 接 单 元 的 刚 度 矩 阵 、 阻 尼 矩 阵 后 , 可 按 常 规 的 有 限 元 组 集 方 法 集 合 到 总 体 刚 度 矩 阵 和 总 体 阻 尼 矩 阵 中 去 。 因 此 , 这 种 方 法 的 特 点 就 是 把 物 理 上 不 连 续 的 系 统 在 数 学 上 连 续 了 起 来 。 参 考 文 献 : [ l?] L?e?O?H?a?r?c? M?e?i?r?O?V?i?t?c?1?.? C?O?m?p?u?t?a?t?i?O?H?a?1? M?e?t?1?O?c? i?H? S?t?r?u?c?t?u?r?a?1? D?y?H?a?m?i?c?S?[ R?] S?O?H?.? I?H?c?, l?9?8?0?.? [ 2?] A?.? A?.? S?1?a?b?a?H?a?.? S?u?b?S?t?r?u?c?t?u?r?e? S?y?H?t?1?e?S?i?S? M?e?t?1?O?c?S? f?O?r? D?y?H?a?m?i?c? A?H?a?1?y?S?i?S? O?f? M?u?1?t?i?-?b?O?c?y? S?y?S?t?e?m?S?[ J?] .? C?O?m?p?u?t?e?r?S? a?H?c? S?t?r?u?c?t?u?r?e?S?, l?9?8?5?, 2?0?( 4?) .? [ 3?] 李 东 旭 .? 高 等 结 构 动 力 学 [ M?] .? 长 沙 : 国 防 科 技 大 学 出 版 社 , l?9?9?7?.? 9? 李 东 旭 等 : 多 体 结 构 连 接 部 件 的 有 限 单 元 模 型
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