偏差最小化方法及其在多属性决策中的应用.pdf

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多属性 决策的 的决策 偏差最小化的 多属性决策方法 的多属性决策 决策方法 方法的 的应用 在多属性 决策中 最小化 多属性决策方法的应用 多属性决策的 最小化的 及其在多属性决策中的应用 化偏差
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第42卷第3期 Vol。42 No.3 山东大学学报(理学版) JOURNAL OF SHANDONG UNIVERSⅡY 2007年3月 Mar.2007 文章编号:1671-9352[2007)03—0032-04 偏差最小化方法及其在多属性决策中的应用 张方伟1,曲淑英1,王志强1,姚炳学2,曾现洋2 (1.烟台大学土木工程学院,山东烟台264005;2.聊城大学数学科学学院,山东 聊城252059) 摘要:针对权重信息完全未知或部分未知的多属性决策问题,以决策者主观态度为导向,借鉴变权思想,给出了一 种基于偏差最小化模型的决策方法.该方法是偏差最大化决策方法的发展与推广.最后,给出了一个实际应用的 例子来比较两类决策方法. 关键词:多属性决策;模型;权重;最优模型 中图分类号:0159;C934 文献标识码:A Application of the minimum deviation method for uncertain multi·-attribute decision--making ZHANG Fang-weil,QU Shu—yin91,WANG Zhi—qian91,YAO Bing—x.e2 and ZENG Xian—yan92 (1.Department of Civil Engineering,Yantai Univ.,Yantai 264005,Shandong,China; 2.School of Mathematics,Liaoeheng Univ.,Liaocheng 252059,Shandong,China) Abstract:A decision method is given based On the minimum decision model for multi-attributed decision making problems with completely or paeay unknowa attribute weight,which is directed by the decision-maker’S subjective attitude and referenced by the ideas of variable weight.This method is the development and generalization of the minimum deviation decision method.The con— O鲥son between the minimum deviation decision method and the inax沛uln deviation decision method is put forward by a practical example. Key words:multiple attribute decision;model;weight factor;optimal model 0前言 在多属性决策理论nq 3中,先后有一些学者基 于离差或方差最大化理论提出了几种不同的实用性 较强的决策模型[4卅.这些决策模型一般也称之为 偏差最大化决策模型[3].目前,偏差最大化决策模型 已经是一类比较基本的决策模型. 在这类决策模型的基础上,以决策理论实际应 用背景为切入点,以决策者主观态度[7]为导向,在 深入分析偏差最大化方法后,借鉴变权思想旧’9],发 展该类模型,进~步提出偏差最小化决策理论,据此 建立了新的决策模型.为叙述方便,首先对基于偏差 最大化的多属性决策理论作简单回顾. 1 基于偏差最大化的多属性决策 设可供选择的方案集为X={x。,戈:,…戈。}, s={Z,五,…五}是属性集.%=Z(暂)(i=1,2,… m,,=1,2,…n)是方案甄在属性Z下的属性值.本 文只考虑属性值为实数的情况.矩阵Y=(Yd)。。。表 示方案集X关于属性集G的决策矩阵,其中 X= yll y12 y21 ),22 Y。1 Ym2 收稿日期:2006-06—19 基金项目:教育部科学技术研究重点资助项目(206089);山东省自然科学基金资助项目(Y20()6F46);山东省研究生教育创新基金资助项目 (SDYY06086) 作者简介:张方伟(1980-),男,硕士,研究方向:系统识别与决策理论. n n n‰‰;‰ ~ ~ ;~ 万方数据 第3期 张方伟,等:偏差最小化方法及其在多属性决策中的应用 33 记M={1,2,…m},N={1,2,…n}. 在现阶段,属性类型一般可分为效益型,成本 型,固定型,偏离型,区间型和偏离区间型.为了消 除不同属性类型对决策结果的影响,我们要对属性 值数据预处理[1 0’11].数据的预处理又称属性值的规 范化.常用的数据预处理方法有线性变化法、标准 0—1变换法、向量规范化法和比重变化法.这里,设 y业已经过规范化处理. 假设属性权重向量w为已知, W=(埘l,埘2,…加。)1 (蚍∈[0,1],∑蚍=1,i=1,2,…m) 一般采用加权和法[31对方案择优排序.其一般 步骤位为:第一步,数据预处理,得到规范化决策矩 阵Z=(钰)。。。.第二步,筛选方案.第三步,令Ci= ∑加i钿,根据指标ci的大小排出方案的优劣. 偏差最大化理论在多属性决策中的应用,主要 是在属性权重完全未知或部分未知时利用决策矩阵 Y=(Yi)。。。确定属性权重.下面我们针对属性权重 完全未知的情况,以文献[6]给出的决策模型为例对 偏差最大化理论作具体介绍. 定义 K(w)=。堇l yowj—ykFwj I,i∈Ⅳ,,∈肘. 令 巧(w)=∑K(w)=善:善l d一茸l嘶,J∈M.i 则K(w=)1表示对属性.f而Y言,所Y有方案与其他 方案的总离差.为此,构造目标函数为 maxV(w)=善巧(w)=善i蓍荟I Yo—Yq wj- 于是,求解权重向量w等价于求解如下最优 化模型 f rnaxy(w)=I善聋1/吾。I),口一%I嘶 =I‘= ol 1 m ts.t.wj≥o,,∈M,互埘;=1. 解此模型并对结果归一化,即得最优权重向量 W. 2理论分析 具体分析上述模型.偏差最大化方法在本质上 认为,决策属性的权重可以由各方案在该属性下的 属性值来确定.即是说在决策中,属性Z的权重与 决策方案在属性,下的属性值差异相关联,若属性 Z能使决策方案的属性值差异越大,则对该属性赋 权就越大;若决策方案在属性f下的属性值差异越 小,则对该属性赋权就越小.特别地,若所有方案在 属性疋下的属性值无差异,则属性.,:对方案的排序 不起作用,可令其权重为0. 由于指标属性值的差异可以用标准差、离差或 平均差来衡量[1 2|,因此偏差最大化方法认为,加权 向量w的选择应使所有指标的总标准差或总平均 差最大. 下面以决策者主观态度为依据来考虑上述分 析.当决策者主观上认为各个备选方案之间有很大 差距时,譬如当一个班主任评价自己班级的学生,认 为学生之间差距很大时,利用偏差最大化思想来确 定权重是合适的.然而,当决策者主观上认为各被评 判对象之间差距不大时,决策者就不应该利用偏差 最大化思想来解决问题.换句话说,决策者选用决策 模型之首要标尺乃是本身之决策态度. 基于此,对上述模型作推广,提出偏差最小化决 策模型. 3偏差最小化决策模型 当决策者主观上认为各被评判对象之间差距不 大时,提出偏差最小化决策方法.通过该方法对加权 向量w的选择,应使所有方案的综合属性值差距最 小,即:使决策对象属性值差异较大的属性赋予较小 的权重,使决策对象属性值差异较小的属性赋予较 大的权重.若所有方案在属性.f下无差异,由于属 性.疋对方案排序不起作用,所以不考虑该属性. 具体来说,当属性值之间差异程度用离差来反 映时,权重向量w可通过如下最优化模型来求解. fminV(w)=蚤蚤。蚤l Yg一%1 wj { 严“““-。。 【s.t.wi≥o'.乐肘,∑叫;=1. 当属性值间的差异程度由数组的方差来表征 时,有相应的方差最小化决策模型[1 3|. 记决策方案zi在属性.f与其他所有决策方案 的偏差为: 仃#(w)_,墨(Y#一Y茸)2 wj,i∈N,歹∈膨. 令 吩(W)=善仃Ⅱ(w)=善,蚤(Yi—Y莳)2 wj,歹∈M. 对属性.f而言,表示所有方案与其他方案的总 偏差,根据偏差最小化理论,当决策者主观上认为各 决策方案差距不大时,权重向量可通过求解如下决 万方数据 34 山东大学学报(理学版) 第42卷 』血n盯‘w’2吾i蓍吾‘y一一y茸’2叶 5 实例与小结 ls.t.哟≥o,jEM,二伽;=1. 上述模型可以通过数学上解析的方法求出结 5·1实例 果,并且理论上已经比较成熟,参见文献[14]. 4解释与说明 我们在第三节具体地对两类偏差最大化的,非 线性决策模型作了发展,建立了相应的偏差最小化 决策模型。事实上,两类新模型只是偏差最小化思 想应用的一部分,下面进一步就偏差最小化思想的 应用范围给予说明. (1)当属性间的差异程度由数组的标准差或极 差来表征时,有相应的标准差(极差)最小化决策模 型,它们都属于偏差最小化决策理论,由于道理类 似,不再阐述. (2)偏差最小化决策理论同样能够解决属性信 息以区间数向量给出的多属性决策问题。 (3)偏差最小化决策模型同偏差最大化决策模 型的区别在于应用背景的不同.不同的应用背景下 采用不同的决策模型符合变权的思想. (4)对于约束条件为线性的决策问题,利用偏 差最小化理论,采用与第三节类似的步骤,同样能够 建立相应的决策模型,并且新模型的建立在理论上 与第三节是一致的.下面通过一个具体的例子对此 某煤矿界外有丰富储量,为了提高原煤产量,初 步提出三个扩建方案戈i(i=1,2,3).评价指标主要 有;fl:总投资额(万元);五:建井周期(年);兀:增占 农田(亩);厶:年增产量(万t);五:产前各方案可产 煤量(万t);^:安全条件(分);厶:可采年限(年);^: 全员生产率(f/人).其中总投资额、建井周期和增占 农田这三个屙陛为成本型,其余屙|生为效益型.部分 知道属性权重信息为 W=(埘】,加2,…W8),其中0.1≤伽l冬0.2, 0.12冬彬2≤0.14,0.115伽3冬0.15, 0.12冬埘4≤O.16,0.07≤伽5≤0.12,0.2≤叫6S0.3, 8 0.18≤伽7s0.21,0.09≤W8冬0.22,∑训i=1. 』=1。 决策矩阵如表1所示:试确定最优方案. 这里,我们分别用方差最大化决策模型和方差 最小化决策模型来解决该问题. 首先:我们利用标准0—1变换法n41将决策矩 阵y规范化,得到决策矩阵R,如表2所示. 设决策者主观上认为方案之间差别较大,利用 文献[11]给出的方差最大化决策模型,可建立模型 『11. 表1决策矩阵y Table 1 Decision-making matrix Y 模型[1] Ⅱlax仃(W)=0.486 Owl+0.750 Ow2++2.223 4w3+0.333 3w4+1.187 5w5+0.480 Ow6+ 0.1600w7+0.1244w8 s.t.0.1冬似1≤0.2,0.12S叫2S0.14,0.11≤W3≤0.15,0.12冬W4S0.16, 8 0.07≤叫5so·12,0.2w6曼o·3,o·18w7≤o.21,0.09_w8≤o·22,蚤哟2 1 万方数据 第3期 张方伟,等:偏差最小化方法及其在多属性决策中的应用 35 解模型[1],求得权重向量为 应的综合屙|生值为:0.8284,0.8545,0.672 3. 形。=(0.162,0.14,0.15,0.12,0.12,0.20, 由此得到方案的排序为 0.018,0.09) 戈2巾戈l吊戈3. max仃(W)=0.809 8 设决策者主观上认为方案之间差别较小,利用 采用加权和法[31求得方案戈i(,=1,2,3)分别对 本文给出的方差最小化决策思想,可建立模型[2]. 模型[2] fmin d(W)=0.486 0w1+0.750 0w2++2.223 4w3+0.333 3w4+1.187 5w5+0.480 0w6+ j 0.1600w7+0.1244伽。 s.t.0.1 5鲫l s0.2,0.12≤W2≤o.14,0.11 5 W3≤o.15,0.12彬4冬o.16, 。 L 0.07≤W5≤0.12,0.2≤W6 s0.3,0.185埘7 10.21,0.09曼W8,≤0.22,∑wj=1 解模型[2],求得权重向量为 职=(0.1,0.12,0.11,0.12,0.07,0.20,0.06, 0.22) min盯(W)=0.639 3 采用加权和法求得方案菇i(.,=1,2,3)分别对应 的综合属性值为:0.806 5,0.844 3,0.769 3. 由此得到方案的排序为 戈2巾菇1牵石3. 对比形。与职可以发现,二者有较大的差距, 又因为权重在多属性决策中有着相当重要的地位, 因此我们提出方差最小化模型对决策问题进一步分 析是必要的. 5.2小结 通过上面的例子可以看到,将偏差最大化、偏差 最小化决策模型与决策者的决策态度结合起来,对 两类决策模型分别给以主观解释,供决策者参考.决 策者可以根据决策态度的不同,采用不同的决策方 法,决策过程考虑到了决策者的主观态度,因而决策 更合理、科学. 参考文献: [1]Hwang C L,Yoon K.Multiple attribute decision making[M]. 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