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    关于Petri网系统S-补相关定理的补充证明及其分析.pdf

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    关于Petri网系统S-补相关定理的补充证明及其分析.pdf

    第 20 卷增刊 系 统 仿 真 学 报 Vol. 20 Suppl2009 年 8 月 Journal of System Simulation Aug., 2009 1 关于 Petri网系统 S-补相关定理的补充证明及其分析 刘石坚,乐晓波,邹 峥 (长沙理工大学 计算机与通信工程学院,长沙 410076) 摘 要 对于 Petri 网而言,冲撞代表着不安全,它是由于空间资源的缺少而引出的一种基本现象。人们寻找到避免冲撞的发生办法是为网系统添加补库所即做 S-补。 就 Petri 网系统做 S-补的相关定理进行了补充性的证明及举例分析 。 关键词 Petri 网; S-补;情态集;行为等价 中图分类号 TP301 文献标识码 A 文章编号 1004-731X 2009 S-0001-05 Additional Theorem Proving and Analysis of S-Complement in the Petri Net LIU Shi-jian, LE Xiao-bo, ZOU Zheng Department of Computer BEF 的一个事件集合,则 1 谓词 Ind u 定义为 12 1 2 , Ind u e e u e e⇔∀∈ ≠都有11 2 2ee eeΦ∪∩ ∪ 若 Ind u 为真,就说 u 为独立事件集。 2 若 cB⊆ 为 ,; BEF 的条件从,则 u 中事件在 c 有一步发生权的条件是 Ind u u c u c∧ ⊆∧ Φ∩ u 在 c 有一步发生权的事实记作 [cu。 定义 1-2[1]基本网系统 ,; , inN BEFc 的情态集NC 是满足下列条件的最小集合 1 in NcC∈ 。 2 若 ,,NcCu Ec B∈ ⊆⊆且 [cu c ,则 NcC∈ 。 定义 1-3[1]若在任何情态下任何条件处均无冲撞,就说N 为无冲撞系统。 定义 1-4[1]令 X BE ∪ 为 N 的元素集, 1 若 ,x yX x y x y xy ∀ ∈∧⇒,则 N 为简单网。 2 若 xX xx∀ ∈Φ∩ ,则 N 为单纯网。 DOI10.16182/j.cnki.joss.2008.s2.073第 20 卷增刊 Vol. 20 Suppl 2009 年 8 月 系 统 仿 真 学 报 Aug., 2009 2 定义 1-5[1] 1顺序关系如果11[ce,12[ce ,但是22[ce,其中11 2[ce c 。就说12,ee在1c 有顺序关系。 2 冲突 若12[[ce ce∧ , 但是12[{ , }cee, 则12,ee在 c 互相冲突。 3 并发12,ee在 c 可并发12 12ee eec ⇔ Φ∧ ⊆∩∪。 2 S-补及其相关定理的证明 2.1 S-补概念的引入 在基本网系统中添加互补条件可以消除冲撞。 选择添加补库所或者说补条件的操作叫作 S-补( S-complement) 。文献 [5]利用 Petri 网关联矩阵的运算,给出了对网系统进行 S-补的矩阵形式公式, 从一个独特的角度为我们展示了 S-补的行为过程及其特性,具有高的参考价值。 设 ,;,incFEBN 为基本网系统, S-补的相关定义、定理如下 定义 2-1[1]1{| }B bBbB bb b b∈∃∈ ∧ 叫作N 的自补条件集;若1B B ,就说 N 是自补的( self- complementary) 。 定义 2-2[1]令21BBB−,设集合2B 满足22||||B B ,且2BBEΦ∩∪ ,又设22f BB→ 为一对一的映射。构造基本网系统 , ; , inNBEFc 如下 1 2B BB ∪ ∧ EE ; 2 12{,| ,}FF beeEbB efb F−∈∧∈∧∈∪∪ 12{ , | , }eb e E b B f b e F−∈∧∈ ∧ ∈ ; 3 1{|}in in inccbfbc−∉∪ . 引理 2-1[1]对任何 bB∈ ,若它的互补条件 bB∈ ,且{,} {,} in inbb c bb c≠Φ ∧ ⊆∩ ,则在任何情态下 b 处都无冲撞。 注意,1B 中的互补条件 b 和 b 不一定恰有一个属于inc ,因为inc 是 B 的任意子集。但由变迁规则知,若 {,}inbb c⊂ ,则 {,}bb 为 N 的所有情态的子集,若 {,}inbb c Φ∩ ,则 b , b永远不能成真。总之,这样的一对 b , b 在 N 中不会改变,与之相关的事件也永远没有发生权。 应用系统中不应包含这种不起作用的成分, 所以不妨假设凡互补的一对条件均恰有一个属于inc[1]。 定理 2-1[1]若 , ; , inNBEFc 是 ,; , inNBEFc 的S-补,则 1 N 是自补的基本网系统。 2 N 为无冲撞系统。 3 对任何 uE⊆ ,若 u 在1 NcC∈ 有一步发生权,且12[cu c ,则 u 在1NcC∈ 有一步发生权,且12[ cu c ,其中11 21ccfBc−∪ ,22 22ccfBc−∪ 。反之,若有12[ cu c ,则12[cu c 。 4 N 的情态集2{ | }NNCcfBccC−∈∪ ,其中22{| }f Bc fbbBbc− ∈∧∉。 5 若 N 为简单系统,则 N 也是;若 N 是单纯的,则N 也是。 6 将NcC∈ 和2NccfBcC −∈∪ 对应起来,则 N和 N 行为等价,即 S-补不改变事件和事件集的发生权及发生结果(如上述 3) ,也不改变事件间的顺序、并发及冲突等关系。 为保持文章简洁易读性,本文下一节将定理 2-1 的六小点分为六个命题分别予以证明。 2.2 S-补相关定理的证明 命题 1 若 , ; , inNBEFc 是 ,; , inN BEFc 的 S-补,则 N 是自补的基本网系统。 证明 I. , ; , inNBEFc 为基本网系统。由 N 的构造规则即定义 2-2 易知, N 并未破坏这一性质,即仍然是1, 1KW≡ ≡ 的基本网系统。 II. 要证明 N 是自补的,须证明 B 是 , ; , inNBEFc 的自补条件集。证明如下 由定义 2-2 中 N 的构造规则知,1B 是 N 的一个最大的自补条件集。如图 1 所示。对于21BBB−,构造的2B 满足22||||B B 且2BBEΦ∩∪ ,又2bB∀∈ 在 1-1 映射法则 f 下都有唯一的原像12f bbB−∈ 使得 bb 且 bb ,所以22B B∪ 构成了一个自补条件集。进一步有,122 2 B BBBBB∪∪ ∪为 N 的自补条件集。即得证。 N 是自补的基本网系统。 图 1 集合1B2B2B 间的关系图 命题 2 若 , ; , inN BEFc 是 ,; , inN BEFc 的 S-补,则 N 为无冲撞系统。 证明 由定义 2-23,1{|}in in in inccbfbcc−∉∪∪ 2inf Bc− 。 inc 的定义保证了 b 与 f b 之中恰有一个属于inc 。又引入定理 2-1 之前已经讨论过,不妨假设凡是 B 中互补的一对条件均恰有一个属于inc ,也即恰有一个属于inc 。则 bB∀ ∈ ,它的互补条件 bB∈ ,且 b 与 b 恰有一个属于 inc ,即 {,} {,} in inbb c bb c≠Φ ∧ ⊆∩ 成立。由引理2-1 有在任何情态下 b 处都没有冲撞。又由 b 的任意性,可得出结论 N 为无冲撞系统。得证。 命题 3 若 , ; , inN BEFc 是 ,; , inN BEFc 的 S-补,则对任何 uE⊆ ,若 u 在1 NcC∈ 有一步发生权,且B2B1 B2 B B2 第 20 卷增刊 Vol. 20 Suppl 2009 年 8 月 刘石坚 , 等 关于 Petri 网系统 S-补相关定理的补充证明及其分析 Aug., 2009 3 12[cu c ,则 u 在1NcC∈ 有一步发生权,且12[ cu c ,其中11 21ccfBc−∪ ,22 22ccfBc−∪ 。反之,若有12[ cu c ,则12[cu c 。 证明 I. 首先证明 u 在1NcC∈ 有一步发生权,如下 ① 按照定义 1-1, 第一步须证明 u 是 N 中的独立事件集。 由条件可知, u 是 N 中的独立事件集,则有对 12 1 2,ee u e e∀∈ ≠ 11 2 2ee eeΦ∪∩ ∪ 1 假设 u 不是 N 中的独立事件集,则必然可以找到事件12 1 2,ee u e e∈≠使得12,ee的外延之交非空,不妨令12 2eebB∈∩ 。则1f bbB−∈,由互补条件的定义可知 12be e ∩ 即在 N 中12 1 2,ee u e e∃∈ ≠使得12be e ∩ , 这与 1式矛盾。所以此时 u 必为 N 中的独立事件集。 ② 下面要证明1uc⊆ 。 既然 u 是 N 中的独立事件集, 就有1uc⊆ , 而11cc ∪ 21f Bc− ,即11cc⊆ ,则有1uc⊆ 。 ③ 因为 u 是 N 中的独立事件集,所以 ucΦ∩ 。假设1uc b≠Φ∩ ,2bB∈ ,则12f bbB−∈ 。因为之前已经讨论过凡互补的一对条件均恰有一个属于inc ,更进一步有对于每一个从inc 可达的条件从 c ,凡互补的一对条件均恰有一个属于 c 由 Petri 网的变迁规则易知 。1bc∈ 那么1bc∉ 且进一步有1bc∉ 11 21ccfBc−∵∪ 。 然而 bu∈ 则 bu∈ , 又1bc∉ , 这与题设条件1uc⊆ 矛盾。所以1ucΦ∩ 。 综上所述,由定义 1-1 可得 u 在1NcC∈ 有一步发生权。 II. 再证12[ cu c ,其中 11 21ccfBc−∪ ,22 22ccfBc−∪ ,如下 不妨先取1 incc ,对任意的在in NcC∈ 下有一步发生权的1uE⊆ 使得11[incu c 。与inc 相对应的in NcC∈ ,且有 2in in inccfBc−∪ 前面已经证明1u 在in NcC∈ 同样有一步发生权, 所以下面只要证明11[ incu c 且11 21ccfBc−∪ 我们令在 N 中,1uBnull,1uBnull,那么有 111in incc uu cBB− −nullnull∪∪ 此时在 N 中有12inuBfBBc−nullnull∪∩ ,12 uBfBBnullnull∪∩。 则 111 inccuu−∪ 22{ [ ]} in incBfBBc BfBB− −nullnullnullnull∪∩ ∪∪∩ {[ ] [ ]}in in incfBc BfBBc−nullnull∪∪∩∪ 2 B fB Bnullnull∪∩2[ ]in incBfBBc−− −nullnull∩∪ 22{[ ] }in infB c fB B c B−− − −nullnull∩∪2 B fB Bnullnull∪∩ 2 in incBfBBcΦnullnull∵∩∩ , 22[ ]in infB c fB B c B−− − Φnullnull∩∩ ∴原式22[ ]in in incB fBc fBBc− −− −nullnull∪∩∪ 2 B fB Bnullnull∪∩ incBB−nullnull∪∪ 22 2[ ] in inf B c fB B c fB B−− −nullnull∩∪∩ 121cfBc −∪ 同理可得若2uE⊆ 在1c 下有一步发生权且使得12 2[cu c 。则2u 在与1c 相对应的1NcC∈ 下也有一步发生权,使得12 2[ cu c 其中 11 21ccfBc −∪ ,22 22ccfBc−∪ 成立。 依此类推, 对任何 uE⊆ , 若 u 在1 NcC∈ 有一步发生权,且12[cu c ,则 u 在1NcC∈ 有一步发生权,且12[ cu c ,其中11 21ccfBc −∪ ,22 22ccfBc−∪ 成立。 对其反命题的证明同理可得。此处不再重复。 下面来举例分析解释命题 3 证明的全过程,如图 2 所示。 a b 图 2 S-补图示 图 2b所示网系统 N 是对图 2a中网系统 N 做 S-补的结果。此时 1 0135{,,,}cbbbb ,1 1 2 1 012345{,,,}ccfBc bbbbbb−∪ 10011{, ,,}B bbbb ,2 2345{,,,}Bbbbb ,2 2345{,,,}B bbbb 以 u 外延所属的范围为划分来分析讨论如下 c 对于1uB⊆ 则始终有1uB⊆ ,对于 ,buu ∀∈ ∪ eu∈ ,无论在 ,be F∈ 还是 , eb F∈ 的情况下,上述结论b0b1b3b5e0 e1 e2 e4 e5 b0 b1 b2 b4 b0b1b2 b3b4 b5b0 b1 b2b3 b4b5 e0 e1 e2 e4 e5 第 20 卷增刊 Vol. 20 Suppl 2009 年 8 月 系 统 仿 真 学 报 Aug., 2009 4 都将成立。 例 1不妨取0{}ue ,此时00,be F∈ 有 12[cu c ,2 1 0135 {,,,}ccuubbbb− ∪ , 21 22 24{,}f Bc fBc bb− − 21 21 2 1 2 [ ] c cBB fBc fBBc fBB− −− −nullnull null null∪∪ ∩ ∪ ∩ 21fB B c−Φnull∵∩ ,2fB BΦnull∩ 21 21 ccBBfBc∴− −nullnull∪∪ 221222 cfBccfBc−−∪∪ 013524{,,,, ,}bbbbbb d 对于2,uB beF⊆∧ ∈与2, uB ebF⊆∧ ∈其中,buueu∈∈∪ 的情况,合并举例如下 例 2不妨取4{}ue ,此时45 2 2{,}ubb BB⊆∪ ,同时包含了54,be F∈ 以及44,eb F∈ 的情况,有 12[cu c ,此时2 1 0134 {,,,}ccuubbbb− ∪ 21 21 2 1 2 [ ] ccBBfBcfBBcfBB− −− −nullnull null null∪∪ ∩ ∪ ∩而21 2 1 24 4 2 {,}{}{}f Bc fB Bc bb b b−− − − null∩ , 25{}f BB bnull∩ 2 2 2 2 013425{,,,}ccfBc bbbbbb∴ −∪ 例 3 不妨取2{}ue , 此时123 1 2 2{, , }ubbb BBB⊆∪∪,同时包含了54,be F∈ 以及44,eb F∈ 的情况,有 12[cu c ,21 0125 {,,,}ccuubbbb− ∪ 21 21 2 1 2 [ ] c cBB fBc fBBc fBB− −− −nullnull null null∪∪ ∩ ∪ ∩此时21 2 1 24 2 4 {,}{}{}f Bc fB Bc bb b b−− − − null∩ ,23{}f BB bnull∩ 22 21 2 1 2[]cc fBcfBBc fBB∴ −− −nullnull∪∩∪∩ 222012534 {,,,,,}cfBc bbbbbb−∪ 这些划分是以文献 [5]中相关命题证明的划分方法为基础, 从问题的实质出发充分验证了命题 3 证明及结论的正确性,分析结果全面而可信。 命题 4 若 , ; , inN BEFc 是 ,; , inN BEFc 的 S-补,则 N 的情态集2{ | }NNCcfBccC−∈∪ ,其中 22{| }f Bc fbbBbc− ∈∧∉。 证明 要证2{ | }NNCcfBccC−∈∪ ,可以按照情态集的定义 1-2 用数学归纳法来证明。 1 由题设有1{|}in in inccbfbc−∉∪ , 即2in in inccfBc−∪ 成立。 2 设1iNcC−∀∈,即11 21ii iccfBc−− −−∪ 。其中1iNcC−∈ 为与1iNcC−∈ 所对应的某条件从。根据命题 3,此时有 uE⊆ , u 在1iNcC−∈ 有一步发生权,且1[iicuc− ,那么有1[ iicuc− ,其中2ii iccfBc−∪ ,iNcC∈ 。即iNcC∈ 。 由定义 1-2 可知, N 的情态集 2{ | }NNCcfBccC−∈∪ 得证。 命题 5 若 , ; , inN BEFc 是 ,; , inN BEFc 的 S-补,则若 N 为简单系统,则 N 也是;若 N 是单纯的,则 N也是。 证明 1. 若 N 为简单系统,假设 N 不是简单系统,则由定义 1-51可知 ,x yX BE∃ ∈∪ 且 x y≠ 使得 x yx y ∧。 ① 如果 ,x yE∈ ,不妨令 12,x ey e , x yb x y b ∧ 如图 3a所示。对其做 S-补,此时1,bb B∈ 。则在 N 中仍然12 1 2,ee Xe e∃ ∈≠使得1212eeee ∧。这与 N 为简单系统相矛盾。 ② 如果 ,x yB∈ ,不妨令 12,x by b ,12x ye x y e ∧ 如图 3b所示。 对其做 S-补, 如图 3c所示。 则在 N 中仍然12 1 2,bb Xb b∃ ∈≠使得1212bbbb ∧。这与 N 为简单系统相矛盾。 所以若 N 为简单系统,则 N 也是。 a b c 图 3 非简单网举例 2. 若 N 是单纯的,假设 N 不是单纯的,由定义 1-52可知 x BE∃ ∈ ∪ 使得 xx≠Φ∩ ①如果 x EE∈ ,不妨令1x e ,如图 4 所示。 x x ∩ 必定属于2B ( N∵ 是单纯的) , 不妨令11ee ∩ 为b 。但是1f bbB− ∈ ,1bb b b e≠Φ∩∩ ,这与 N是单纯的相矛盾。 图 4 非单纯网举例 ②如果 x B∈ ,同理 x 必定属于2B 。不妨令 x b ,1bb e∩ 1f bbB− ∈ ,1bb b b e≠Φ∩∩ ,与 N 是单纯的相矛盾。 bbe1 e2 e1e2 e1 e2b1 b2 b1b2b2b1b b e1 第 20 卷增刊 Vol. 20 Suppl 2009 年 8 月 刘石坚 , 等 关于 Petri 网系统 S-补相关定理的补充证明及其分析 Aug., 2009 5 所以若 N 是单纯的,则 N 也是。得证。 命题 6 若 , ; , inNBEFc 是 ,; , inN BEFc 的 S-补,若将NcC∈ 和 2NccfBcC−∈∪ 对应起来,则 N 和 N 行为等价,即 S-补不改变事件和事件集的发生权及发生结果,也不改变事件间的顺序、并发及冲突等关系。 证明 S-补不改变事件和事件集的发生权及发生结果的事实在命题 3 中已经证明过。下面来证明 S-补不改变事件间的顺序、并发及冲突关系。图 5 中所示的是事件12,ee所表现出来的顺序、冲突以及并发关系在做 S-补后的示意图,可见 ① 假设 N 中12,ee有顺序关系。 根据定义 1-5, 在 N 中 11[ce且12[ce,但是22[ce 其中11 2[ce c ;10{}cb ,21{}cb 。 a 事件间的顺序关系 b 事件间的冲突关系 c 事件间的并发关系 图 5 事件12,ee间顺序、冲突及并发关系举例 S-补后 11[ce且12[ce ,但是22[ce 其中11 2[ ce c ;1012{,,}cbbb ,212{, }cbb 。 所以12,ee仍然保持顺序关系,如图 5a所示。 ② 假设 N 中12,ee有冲突关系。 根据定义 1-5, 在 N 中 12[[ce ce∧ ,但是12[{ , }cee ,其中0{}cb S-补后 12[ [ce ce∧ ,但是12[{ , }cee 其中012{,,}cbbb 所以12,ee仍然保持冲突关系,如图 5b。 ③ 假设 N 中12,ee有并发关系。 根据定义 1-5, 在 N 中 12 12ee eec Φ∧ ⊆∩∪,其中01{,}cbb S-补后 12 12ee eec Φ∧ ⊆∩∪,其中01{,}ccbb 所以12,ee仍然保持并发关系,如图 5c所示。 综上所述,如果将NcC∈ 和2NccfBcC−∈∪ 对应起来,则 N 和 N 行为等价,即 S-补不改变事件和事件集的发生权及发生结果,也不改变事件间的顺序、并发及冲突关系。 3 结论 对 Petri 网系统做 S-补, 是消除系统冲撞的一般性方法。本文是在 S-补相关定义、定理的基础上进行的补充证明工作,并予以适当的举例分析。对 S-补研究具有重要的意义。 参考文献 [1] 袁崇义 . Petri 网原理与应用 [M]. 北京 电子工业出版社 , 2005. [2] 吴哲辉 . Petri 网导论 [M]. 北京 机械工业出版社 , 2006.4 [3] 蒋昌俊 . Petri 网的行为理论及其应用 [M]. 北京 高等教育出版社 , 2003. [4] 刘任任 . 离散数学 [M]. 湖南 湖南科学技术出版社 , 2001. [5] 许国安 , 蒋昌俊 .Petri 网的 S-补和 T-补的几个性质 [J]. 重庆邮电学院学报 , 1996, 81 65-78. [6] 王寿光 , 颜钢锋 , 蒋静坪 . 网简化技术在 Petri 网反馈控制器设计中的应用 [J]. 软件学报 , 2003, 146 1037-1042. [7] 朱晓民 , 廖建新 , 王鹏 , 王剑斌 . 用 Petri 网对点击拨号业务的建模 [J]. 电子与信息学报 , 2006, 283 551-556. [8] 叶剑虹 , 石建 , 宋文 . 结构活网极小标识的一个求解算法 [J]. 四川大学学报 自然科学版 , 2006, 434 783-786. [9] 赵金楼 , 齐英 . 网络节点的动态性与组织数据关系重组 [J]. 科技进步与对策 , 2007, 2412 156-158. e1 e2 b0 b1 b2 b0 b1 b2 b0 b1 b2 b2 b0 b1 b2 b0b1 b2 e1 e2 b0 b1 e1 e2 b0 b1

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